1) DESAFIO: vc consegue visualizar todos os triângulos semelhantes existentes nesta figura? E porque eles são semelhantes?

Fonte: TUDO É MATEMÁTICA: ensino fundamental,
8ª série, de Luiz Roberto Dante, Ed. Ática, 2005, pag.161.

2) Veja que legal!Fonte: TUDO É MATEMÁTICA: ensino fundamental, 8ª série, de Luiz Roberto Dante, Ed. Ática, 2005, pag.157.

3) Com relação ao triângulo retângulo, as demonstrações do teorema de Pitágoras são famosas. Existem inúmeras delas. Se vc procurar na internet, vc vai achar muitas de diversas formas. Como esta por exemplo:

4) E esta é a chamada demonstração mais curta, ela se baseia na consequência da semelhança de triângulos retângulos: "Num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção  sobre ela". Assim, se m e n são, respectivamente, as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c, temos a² = mc, b² = nc, enquanto que m + n = c. Somando, vem a² + b² = c². 

PARA APRENDER MAIS:

https://www.mathsisfun.com/geometry/index.html (aqui tem muitos exercícios interessantes)

https://www.desmos.com/calculator/kohoey3j60

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/ativ13/sistems2.htm

https://www.geogebra.org/m/HcFZ68tU

http://www.shodor.org/interactivate/activities/Transmographer/